こんにちは、kopapaです。
今回は、高校数学の数列について少し考えてみます。
私、数列について考えるのなんて何年ぶりだろう？という感じです。社会人になってから、普段あんまり数学使わないんですよね。
数学・数列好きだけどブランクある方、漸化式の解き方をおさらいしたい方、ぜひお気軽にご覧いただけたらと思います。
なお、今回は、『等差数列』、『等比数列』、『階差数列』の解法は省略します。ご了承ください。
$a_{n+1}=3a_n-4$ を解いてみる
今回のお題はこれ！$$a_{n+1}=3a_n-4$$ $$a_1=3$$この漸化式を解くことを考えてみたいと思います。
まずは、特性方程式を解け！？
この漸化式を解くときによく登場するのが『特性方程式』。
塾でも、先生から「このタイプはまず特性方程式を解くんだ！」と言われます（たぶん）。
そういえば、学校では特性方程式って、習わなかった気がします。ちょっとした裏技・・・？
このタイプは特性方程式を解くんだ！
特性方程式って、何？というと・・・漸化式の$a_{n+1}$と$a_n$を両方とも$\alpha$で置き換えた方程式のこと（ということにしておきます）。
下の式が今回の漸化式に対する特性方程式です。
$$\alpha =3\alpha -4$$
で、これを解くと・・・$\alpha = 2$となります。
で？って感じですよね。
私も高校時代まさにその気持ちでした。解けというから解いたけど、先生これどうすんの？と。
・・・で？
特性方程式の解を利用して、漸化式を変形する
続いて、先生は言います。「特性方程式の解を利用して、漸化式を変形してみて」と（たぶん）。
特性方程式の解を・・・（略）
まぁ、やってみ！と。
いくつか例題は見ているので、同じように変形してみます。こんな感じ。
$$a_{n+1}-\alpha=3(a_n-\alpha)$$
$\alpha=2$なので、上の式へ代入して、こんな感じ。
$$a_{n+1}-2=3(a_n-2)$$
はい、これで変形終わり（ちゃんと元の漸化式に戻ります）。で、続いて、どうする？
知ってる型にあてはめて解いちゃう
ここで先生は言います。「これまでの授業が理解できてれば、あとは解けるはず。」と（たぶん）。
これまでの授業が理解できてれば、・・・（略）
先生がこう言う時は、自分は半々の割合で理解できてませんでしたね。フリーズ。。
ああ、昔が懐かしい。今はわかるので進めます。
このまま進めても良いですが、$b_n=a_n-2$と置いて、上の式は下のようになります。
$$b_{n+1}=3b_n$$
これって、等比数列の型ですね。ちなみに、$b_1=a_1-2=3-2=1$。初項1、公比3の等比数列なので、その一般項は・・・。
$$b_n=1\cdot 3^{n-1}=3^{n-1}$$
$a_n$は、$a_n=b_n+2$なので、
$$a_n=3^{n-1}+2$$となります。
めでたしめでたし。で、良いですか？
結局、特性方程式ってなんだったの？
特性方程式が出てきてから、あまりに出来過ぎたストーリーですらすらと解けてしまう。なにこれ、魔法？よくわからんけど感謝ー！って感じです。
で、落ち着いて、ふとした時に思う。「結局、特性方程式ってなんだったの？」と。
そもそも特性方程式どこから来た？
そもそも特性方程式はどこから（なぜ）来たんでしょう？
- $a_{n+1}とa_nを\alphaで置き換えなさい$
- その方程式を解きなさい
- 出てきた解を利用して変形しなさい
- あとはできるでしょ（あ、等比数列だ！）
初めから当たり前のようにこう言われたけれど・・・。よう考えたら、なーんも説明されてないなぁと。
特性方程式考えた人、何を思ってこれ考えたのよ？
初めから等比数列にしたかった？のかな？
特性方程式を考え付いた人に確認したいのだけど、たぶんこれ、初めから等比数列の型にするつもりで考えてましたよね？
目指すべきゴールとして、$$a_{n+1}-\alpha=3(a_n-\alpha)$$こんな形の式（等比数列の型）をはじめに想定していて、これと元の式を見比べて・・・
$$a_{n+1}=3a_n-4 \tag{1}$$ $$a_{n+1}-\alpha=3(a_n-\alpha) \tag{2}$$
(1)と(2)の式から$a_{n+1}とa_n$を消してやる(1-2をしてやる）と、$\alpha = 3\alpha -4$となって、特性方程式が出てくるなぁと。・・・違うのかな？
まとめ：特性方程式は謎いっぱい奥が深い？
はい、ということでまとめます。
久々の数列で、個人的にはなつかしさを感じながら書いてました。
途中、ちょっといろいろはしょり過ぎました。
結局、特性方程式の真実の姿には迫り切れなかった点が残念ですが・・・。
『特性方程式はどこから来たのか、何を思ってこれを考えたのか？』に対する私の解釈は、『だって、等比数列の形にしたかったんだもん！』です。
これについて、皆様からのご意見をお待ちしております。
最後までお読みいただきありがとうございました。
